Question

已知一次函數(shù)y=-

3

3

x+b與反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)交于B、C兩點，與y軸交于A點，且AB•AC=4，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，設(shè)B、C的橫坐標分別為m、n，先確定A點坐標（0，b），D點坐標（

3

b，0），利用勾股定理計算出AD=2b，再利用三角形相似得到AB=

2 3

3

m，AC=

2 3

3

n，則mn=3，然后根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題得到m、n為方程-

3

3

x+b=

k

x

的兩實數(shù)解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到mn=3，則可利用

3

k=3求k．

解答：解：作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，
把x=0代入y=-

3

3

x+b得y=b，
把y=0代入y=-

3

3

x+b得數(shù)-

3

3

x+b=0，解得x=

3

b，
∴A點坐標為（0，b），D點坐標為（

3

b，0），
∴AD=

OA2+OD2

=2b，
設(shè)B、C的橫坐標分別為m、n，
∵BE∥OD，
∴△ABE∽△ADO，
∴

AB

AD

=

BE

OD

，
∴AB=

2b•m

3 b

=

2 3

3

m，
同理可得AC=

2 3

3

n，
∴AB•AC=

2 3

3

m•

2 3

3

n=4，
∴mn=3，
∵次函數(shù)y=-

3

3

x+b與反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)交于B、C兩點，
∴m、n為方程-

3

3

x+b=

k

x

的兩實數(shù)解，
方程整理得x²-

3

bx+

3

k=0，
∴

3

k=3
∴k=

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系．