Question

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為

AC

的中點，DE⊥AB交⊙O于點E，交AC于點F．
（1）求證：∠DFC=2∠DCF；
（2）已知AH=1，BH=4，求FC的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）連接OD與AC相交于點G，判斷出OD⊥AC，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可得∠AOD=2∠DCF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AFH=∠AOD，然后求出∠DCF=∠AOD，即可得證；
（2）利用垂徑定理求出DH，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得AG=DH，然后求出△AFH和△AOG相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AF，再根據(jù)FC=2AG-AF計算即可得解．

解答：（1）證明：連接OD與AC相交于點G，
則∠AOD=2∠DCF，
∵D為

AC

的中點，
∴OD⊥AC，
又∵DE⊥AB，
∴∠A+∠AFH=∠A+∠AOG=90°，
∴∠AFH=∠AOD，
∵∠DFC=∠AFH，
∴∠DCF=∠AOD，
∴∠DFC=2∠DCF；

（2）解：∵DE⊥AB，AH=1，BH=4，
∴DH²=AH•BH=1×4=4，
∴DH=2，
∵OD=OA，DE⊥OA，AG⊥OD，
∴AG=DH=2，
∵AH=1，BH=4，
∴AB=1+4=5，
∴AO=

1

2

AB=2.5，
∵DE⊥OA，AC⊥OD，
∴△AFH∽△AOG，
∴

AF

OA

=

AH

AG

，
即

AF

2.5

=

1

2

，
解得AF=

5

4

，
∴FC=2AG-AF=2×2-

5

4

=

11

4

．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（2）利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AF．