Question

如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點與坐標原點重合，頂點在坐標軸上，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿軸勻速向點運動，到達點即停止．設點運動的時間為．

（1）過點作對角線的垂線，垂足為點．求的長與時間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）在點運動過程中，當點關于直線的對稱點恰好落在對角線上時，求此時直線的函數(shù)解析式；
（3）探索：以三點為頂點的的面積能否達到矩形面積的？請說明理由．

Answer 1

（1），（2）（3）不能，理由見解析

解：（1）在矩形中，

，，
．……………………1分
　　　　，．
　　　　，即，．……3分
　　　　當點運動到點時即停止運動，此時的最大值為．
　　　　所以，的取值范圍是．················ 4分
　　　�。�2）當點關于直線的對稱點恰好在對角線上時，三點應在一條直線上（如答圖2）．……………………5分

　　　　，．
　　　　，
．
　　　　．點的坐標為．…………6分
　　　　設直線的函數(shù)解析式為．將點和點代入解析式，得解這個方程組，得
　　　　　此時直線的函數(shù)解析式是．········· 8分
（3）由（2）知，當時，三點在一條直線上，此時點　不構成三角形．
　　　　　故分兩種情況：
　　　　�。╥）當時，點位于的內部（如答圖3）．

過點作，垂足為點，由
可得．
　　　　　
　　　　　．······· 10分
　　　　　若，則應有，即．
　　　　　此時，，所以該方程無實數(shù)根．
　　　　　所以，當時，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．    11分
　　　　�。╥i）當時，點位于的外部．（如答圖4）
　　　　　此時．········ 12分
　　　　　若，則應有，即．
　　　　　解這個方程，得，（舍去）．
　　　　　由于，．
　　　　　而此時，所以也不符合題意，故舍去．
　　　　　所以，當時，以為頂點的的面積也不能達到矩形面積的．
　　綜上所述，以為頂點的的面積不能達到矩形面積的．
（1）找出三角形相似的條件，利用相似三角形的對應邊成比例，求出邊界值即可
（2）用待定系數(shù)法，找出直線上兩點坐標即可，由于，則，利用相似三角形的對應邊成比例，求出點P的坐標
（3）由于點是動點，以為頂點的的面積與點的位置有關，需分情況討論，當時，找不到的值使得，當時，三點在一條直線上，則點不構成三角形，當時，也找不到的值使得，因此以為頂點的的面積不能達到矩形面積的