Question

18．如圖，矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，EF交CD于點(diǎn)G，連接BE．若BE平分∠AEF，G是CD邊的中點(diǎn)，tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，則$\frac{DE}{AE}$的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為點(diǎn)M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出BM=EM，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AE=x，則AB=2x，求出BM，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ABE=∠BFM，求出BF，在△DEG和△CFG中，根據(jù)AAS長(zhǎng)出△DEG≌△CFG，求出DE=CF，得出AD+CF=AE+DE+CF=AE+2DE，求出x的值，即可得出答案．

解答 解：過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為點(diǎn)M，
∵BE平分∠AEF，
∴∠AEB=∠BEF，
∵AD∥BF，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠BEF=∠EBF，
∴FE=FB，
∴BM=EM，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AE=x，則AB=2x，
∵∠A=90°，
∴BE=$\sqrt{5}$x，
∴BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵∠ABE+∠EBF=90°，
∠BFM+∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠BFM，
∴$\frac{BM}{FM}$=$\frac{1}{2}$，
∴FM=$\sqrt{5}$x，
∴BF=$\frac{5}{2}$x，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GCF}\\{∠DGE=∠CGF}\\{DG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG，
∴DE=CF，
∵AD=BC，
∴AD+CF=AE+DE+CF=AE+2DE，
∴$\frac{5}{2}$x=x+2DE，
∴DE=$\frac{3}{4}$x，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{x}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證出BM=EM．