Question

19．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．
（2）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM-∠NOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)ON的反向延長線為OD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠M=30°，∠MNO=60°，從而可分別求得∠BON=∠AOD=∠COD=30°；
（2）分別用∠AON表示出∠AOM和∠NOC即可．

解答 解：
（1）直線ON平分∠AOC．
理由如下：
如圖，設(shè)ON的反向延長線為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=$\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×{120°}={60°}$，
又∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=90°-∠BOC=30°，
∵∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直線ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的線段和角分別相等．