Question

9．如圖，正方形ABCD的頂點C，D在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的圖象上，頂點A，B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形EFDG，頂點G在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的圖象上，頂點E在x軸的正半軸上，則點G的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

Answer 1

分析 作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，設(shè)C（a，$\frac{8}{a}$），則CP=a，OP=$\frac{8}{a}$，易得Rt△CBP≌Rt△BAO≌Rt△ADQ，則OB=PC=AQ=a，所以O(shè)A=BP=DQ=$\frac{8}{a}$-a，則D的坐標(biāo)為（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），然后把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到D的坐標(biāo)；設(shè)G的坐標(biāo)為（b，$\frac{8}$），易得Rt△DGN≌Rt△EGM，則GM=GN=QM=$\frac{8}$，通過OM=OQ+QM=4+$\frac{8}$=b，這樣得到關(guān)于b的方程，解方程求出b，得到G的坐標(biāo)．

解答 解：作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，如圖所示，

則∠CPB=90°，
∴∠CBP+∠PCB=90°，
設(shè)C（a，$\frac{8}{a}$），則CP=a，OP=$\frac{8}{a}$，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴∠PCB=∠ABO，
在△CBP和△BAO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠BOA}\\{∠PCB=∠ABO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△BAO（AAS），
∴OB=PC=a，
同理：PC=AQ=a，
∴OA=BP=DQ=$\frac{8}{a}$-a，
∴OQ=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴D的坐標(biāo)為（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），
把D的坐標(biāo)代入y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
得：（$\frac{8}{a}$-a）•$\frac{8}{a}$=8，
解得：a=-2（不合題意，舍去），或a=2，
∴D（4，2），
設(shè)G的坐標(biāo)為（b，$\frac{8}$），
∵四邊形DGEF為正方形，
同理可證：△DGN≌△EGM，
∴GM=GN=QM=$\frac{8}$，
∴OM=OQ+QM=4+$\frac{8}$，
∴4+$\frac{8}$=b，
解得：b=2+2$\sqrt{3}$，或b=2-2$\sqrt{3}$（不合題意，舍去），
∴$\frac{8}$=2$\sqrt{3}$-2，
∴點G的坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）；
故答案為：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．