Question

如圖，已知△ABC中，AB=a，點D在AB邊上移動（點D不與A、B重合），DE∥BC，交AC于E，連接CD．設(shè)S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）當(dāng)D為AB中點時，求S₁：S的值；
（2）若，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在點D，使得成立？若存在，求出D點位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：過A作AM⊥BC，交DE于點N，設(shè)AD=x，
根據(jù)DE∥BC，可以得到===，
則DE=•BC，AN=•AM；
（1）當(dāng)D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，
則DE=BC，AN=AM，而S_△ABC=S=•AM•BC，
∴S_△DEC=S₁=•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴===，
∴=．
=（•MN•DE）：（•AM•BC）=•=•=
即y=，0＜x＜a，

（3）不存在點D，使得S₁＞S成立．
理由：假設(shè)存在點D使得S₁＞S成立，
那么即y＞，∴＞，
整理得，＜0，
∵（x-）²≥0，
∴x不存在．
即不存在點D使得S₁＞S．
分析：（1）當(dāng)D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，DE：BC=1：2，而高線的比也是1：2，則三角形的面積的比就可以求出；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關(guān)系，就可以求出面積的比；
（3）使得成立，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值y的大小關(guān)系．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積的計算方法．