Question

（2009•泰安）如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線+m與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)和的拋物線解析式；
（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x來表示，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．
解答：解：（1）作AF⊥x軸于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=
∴點(diǎn)A（1，）（1分）
代入直線解析式，
得，
∴m=
∴
當(dāng)y=0時，
得x=4，∴點(diǎn)E（4，0）（3分）

（2）設(shè)過A、O、E三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線過原點(diǎn)
∴c=0
，
∴
∴拋物線的解析式為（6分）

（3）作PG⊥x軸于G，設(shè)P（x，y）
S_{四邊形OAPE}=S_△AOF+S_梯形AFGP+S_△PGE
=（8分）
=
當(dāng)時，S_最大=．（10分）
點(diǎn)評：此題考查知識點(diǎn)多，但題難度不大，需作輔多條輔助線，在直角三角形中解題，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．