Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（0，3）為圓心、5為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)E在第二象限.

(1)、求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切時(shí), 求此時(shí)拋物線的解析式.

(3)、連結(jié)AE、AC、CE，若．①求點(diǎn)E坐標(biāo)；②在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、M、

P為頂點(diǎn)的三角形和△ACE相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)、A(－4,0)；B(4,0)；(2)、；(3)、E；P.

【解析】

試題分析：(1)、連接AM，根據(jù)題意得出AM=5，OM=3，則OA=0B=4，求出點(diǎn)坐標(biāo)；(2)、設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題意得c=8，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入找出b和a的關(guān)系式，求出直線的對(duì)稱軸；根據(jù)切線的性質(zhì)得出對(duì)稱軸為x=－5，求出a和b的值；(3)、根據(jù)∠ACO和∠CAE的正切值得出兩個(gè)角相等，根據(jù)點(diǎn)A在對(duì)稱軸上，則可得出對(duì)對(duì)稱軸為直線x=－4，求出a的值，然后求出頂點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)、連結(jié)M A，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，

∴點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0）

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2； 此時(shí)，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的對(duì)稱軸是直線：x==；

又∵拋物線的頂點(diǎn)E在第二象限且該拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切， 則=-5，∴a=，b=，

∴拋物線的解析式為

(3)、①在Rt△AOC中 tan∠ACO=，而tan∠CAE=

∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸上

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；∴

∴E

②在直線BC上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、M、P為頂點(diǎn)的三角形和△ACE相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為