【題目】如圖,在平面直角系xOy中,直線AB交x軸正半軸于點A,交y軸負半軸于點B,B點的坐標為B(0,﹣6),點C在線段OA上,將△ABC沿直線BC翻折,點A與y軸上的點D(0,4),恰好重合.
(1)求A點、C點的坐標;
(2)在y軸是否存在一點H,使得△HAB和△ABC的面積相等?若存在,求出滿足條件的點H的坐標;若不存在,請說明理由
(3)已知點E(0,3),P是直線BC上一動點(P不與B重合),連接PD、PE,求△PDE周長的最小值,并求出此BP長.
【答案】(1)A(8,0),C(3,0);(2)存在,(0,﹣),(0,﹣);(3)△PDE的周長的最小值+1,.
【解析】
(1)由折疊的性質得BD=AB=10,AC=DC,由勾股定理可求AO=8,AC=5,即可求點A,點C坐標;
(2)△HAB和△ABC的面積相等,則點H在直線m、n與y軸的交點上,求出直線m、n的表達式即可求解;
(3)連接AE交BC于點P,則此時△PDE的周長取得最小值,即可求解.
解:(1)∵B(0,﹣6),D(0,4),
∴BD=10,
∵將△ABC沿直線BC翻折,
∴BD=AB=10,AC=DC,
∴AO===8,
∴點A(8,0)
∵CD2=DO2+CO2,
∴AC2=16+(8﹣AC)2,
∴AC=5,
∴CO=3,
∴點C(3,0)
(2)過點C作直線m∥AB,
∵B點的坐標為B(0,﹣6),點A坐標(8,0),
∴直線AB的解析式為:y=x﹣6
∵直線m∥AB,
∴設直線m的解析式為:y=x+b,且過點C,
∴0=×3+b,
∴b=﹣
直線m的解析式為:y=x﹣,
在直線AB下方與直線m等距離處作直線n,
則直線n的表達式為:y=x﹣,
∵△HAB和△ABC的面積相等,則點H在直線m、n與坐標軸的交點上,
∴點H坐標為(0,﹣),(0,﹣);
(3)∵點A與點D關于BC對稱,
∴連接AE交BC于點P,
則此時△PDE的周長取得最小值,
∵點A(8,0),點E(0,3)
∴AE=
∴△PDE的周長的最小值=DE+DP+PE=+1
由點E、A的坐標,同理可得:直線AE的表達式為:y=﹣x+3,
同理直線BC的表達式為:y=2x﹣6,
∴
∴
∴點P(,)
∵點B(0,﹣6)
∴BP=.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,將BD向兩個方向延長,分別至點E和點F,且使BE=DF.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;
(2)若AC=4,BE=1,直接寫出菱形AECF的邊長.
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【題目】某九年級制學校圍繞“每天30分鐘的大課間,你最喜歡的體育活動項目是什么?(只寫一項)”的問題,對在校學生進行隨機抽樣調查,從而得到一組數(shù)據(jù).圖1是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的條形統(tǒng)計圖,請結合統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)該校對多少學生進行了抽樣調查?
(2)本次抽樣調查中,最喜歡籃球活動的有多少?占被調查人數(shù)的百分比是多少?
(3)若該校九年級共有200名學生,圖2是根據(jù)各年級學生人數(shù)占全校學生總人數(shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計圖,請你估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為多少?
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【題目】已知數(shù)軸上點與點之間的距的距離為個單位長度,點在原點的左側,到原點的距離為個單位長度,點在點的右側,點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù),動點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度向點移動,設移動時間為秒.
(1)點表示的數(shù)為 ,點表示的數(shù)為 ,點表示的數(shù)為 .
(2)用含的代數(shù)式分別表示點到點和點的距離: , .
(3)當點運動到點時,點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度向點運動,點到達點后,立即以同樣的速度返回點,在點開始運動后,當兩點之間的距離為個單位長度時,求此時點表示的數(shù).
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【題目】已知:四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,則下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是
A. , B. ,
C. , D. ,
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【題目】如圖(1),四邊形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,P從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度,按A→B→C→D的順序在邊上勻速運動,設P點的運動時間為t秒,△PAD的面積為S,S關于t的函數(shù)圖象如圖(2)所示,當P運動到BC中點時,△PAD的面積為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
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【題目】甲、乙兩人在直線跑道上同起點同終點同方向勻速跑步500米,先到終點的人原地體息.已知甲先出發(fā),在跑步過程中,甲、乙兩人的距離與乙出發(fā)的時間之間的關系如圖所示,給出的下結論:①,②,③,其中正確的是______.
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【題目】已知,如圖,拋物線與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側.點B的坐標為(1,0),OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值;
(3)若點E在軸上,點P在拋物線上.是否存在以A,C,E,P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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