Question

如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸MN對稱．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

（1）由y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，易得A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0）、
B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）
∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A、B兩點(diǎn)
∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得：b=-2
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）

（2）證明：∵B、D關(guān)于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）
∴D（-2，3）
∵B（0，3），A（-3，0）
∴OA=OB，
∵C（-1，4），B（0，3）
∴直線CB的解析式為：y=-x+3，
∴E（3，0），
∴OB=OE，
∴∠BEO=∠OBE=45°，
又∠AOB=90°
∴∠ABO=∠BAO=45°
∴∠ABE=90°，
∵B、D關(guān)于MN對稱
∴BD⊥MN
又∵M(jìn)N⊥X軸
∴BD∥X軸
∴∠DBA=∠BAO=45°
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°
∴∠ABC=180°-∠ABE=180°-∠DBO=90°
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°
∵CM⊥BD
∴∠MCB=45°
∵B，D關(guān)于MN對稱
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB
又∵AD與BC不平行
∴四邊形ABCD是梯形
∵∠ABC=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形．