Question

【題目】如圖，拋物線（＜0）與軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且∠ACB＝90°，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）連接PB，以BP，BC為一組鄰邊作平行四邊形BCDP，當(dāng)平行四邊形BCDP的面積最大時(shí)，求P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q是x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4），；（2）P（4，6），D（－4，10）；（3）存在以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，P1（4，6），Q1（2，0）；P2（， ），Q2（，0）；P3（， ），Q3（，0）

【解析】（1）令＝0，解方程可得x的兩個(gè)值，即是A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)△AOC與△COB相似，可求OC的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接PC，通過設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）并用含m的式子表示n，可用含m的二次式表示出平行四邊形BCDP的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最大值即可求出P、D兩點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分三種情況①PC=QC,②PC=PQ,③QC=PQ進(jìn)行分類討論即可.

解：（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4）

拋物線的解析式為

（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接PC

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），平行四邊形BCDP的面積為S

則，OE＝m，BE＝8－m

∵∠COB=∠FEB=90°，∠CBO=∠FBE

∴△BEF∽△BOC

∴，

∴

∴當(dāng)m＝4時(shí)，平行四邊形BCDP的面積S最大

此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，6）

由平移可得此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，10）

（3）存在以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形

P1（4，6），Q1（2，0）

P2（， ），Q2（，0）

P3（， ），Q3（，0）