Question

如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦．過點B作BC∥AD，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D．連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=3，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM=6；
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6-r，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計算出r=，則CE=2r=，OM=6-=，利用中位線性質(zhì)得BE=2OM=，然后判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據(jù)相似比可計算出PC．
解答：解：（1）PC與圓O相切，理由為：
過C點作直徑CE，連接EB，如圖，
∵CE為直徑，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC與圓O相切；

（2）∵AD是⊙O的切線，切點為A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM==6，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6-r）²=r²，解得r=，
∴CE=2r=，OM=6-=，
∴BE=2OM=，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴=，即=，
∴PC=．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)．