Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCM的周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線 上，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為 ．

∵ ，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；

（2）

解：△ABC是直角三角形．理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），則OC=2．

當(dāng)y=0時(shí)， ，

∴x1=﹣1，x2=4，則B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）

解：作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C'（0，2）．

連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，CD一定，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，△CDM的周長最�。�

設(shè)直線C′D的解析式為y=ax+b（a≠0），則

，

解得 ，

∴ ．

當(dāng)y=0時(shí)， ，則 ，

∴ ．

【解析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)b的方程，通過解方程求得b的值；利用配方法把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，根據(jù)該解析式直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）利用點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)來求線段AB、AC、BC的長度，得到AC2+BC2=AB2 ， 則由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C'（0，2）．連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，CD一定，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，△CDM的周長最小．利用待定系數(shù)法求得直線C′D的解析式，然后把y=0代入直線方程，求得 ．