Question

已知A（2

3

，0），直線y=（2-

3

）x-2交x軸于點F，y軸于點B，直線l∥AB且交 y軸于點C，交x軸于點D，點A關(guān)于直線l的對稱點為A'，連接AA'，A'D．直線l從AB開始，以1個單位每秒的速度沿y軸正方向向上平移，設(shè)移動時間為t．
（1）求A'點的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）請猜想AB與AF長度的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）過點C作直線AB的垂線交直線y=（2-

3

）x-2于點E，以點C為圓心CE為半徑作⊙C，求當(dāng)t為何值時，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切？

Answer 1

分析：（1）由l∥AB得出∠ODC=∠OAB，再由點A（2

3

，0），求出∴∠ODC=∠OAB=30°由點A關(guān)于直線l的對稱點為A'，求出A'點的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）通過點F的坐標(biāo)，得出AF，在Rt△OAB中，OA=2

3

，OB=2，求出AB，得AB=AF；
（3）先由直線l是點A和A'的對稱軸得直線l是∠A'DA的平分線，即得點C到直線AD和A'D的距離相等，當(dāng)⊙C與AD相切時，也一定與A'D相切，通過直角三角形求解．

解答：解：（1）∵l∥AB．
∴∠ODC=∠OAB，
∵A（2

3

，0）B（0，-2），
∴tan∠OAB=

3

3

，
∴∠ODC=∠OAB=30°．
∵BC=t，∴OC=2-t，
∴OD=

3

（2-t），
∴AD=

3

t．
∵點A關(guān)于直線l的對稱點為A'，
∴A'D=AD=

3

t∠A'DA=60°，
∴△A'DA是正三角形．
過點A'作A'H⊥AD于H，
∴AH=

3

2

tA'H=

3

2

t，
∴A'點的坐標(biāo)為（2

3

-

3

2

t，

3

2

t）．

（2）AB=AF．
說明：∵F（4+2

3

，0），
∴AF=4，
在Rt△OAB中，OA=2

3

，OB=2，
∴AB=4，
∴AB=AF．

（3）∵直線l是點A和A'的對稱軸，
∴直線l是∠A'DA的平分線，
∴點C到直線AD和A'D的距離相等，
∴當(dāng)⊙C與AD相切時，也一定與A'D相切．
∵∠OAB=30°且AB=AF，
∴∠ABF=15°，
∴∠CBF=75°．
∵CE⊥AB∠OBA=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠CEB=75°，
∴CB=CE．
∵⊙C與AD相切，
∴OC=CE=CB，
∴t=1．
當(dāng)⊙C與AA'相切于點M時，CE=CB=CM，
∴CM=t，
∵CM=DM-CD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t-2，
∴CD=2t-4，
∴2t-4+t=

3

2

t，
∴t=

8

3

．

點評：此題考查的知識點是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，較難，解題的關(guān)鍵是運用幾何知識通過直角三角形、三角函數(shù)等知識求解．