Question

已知：拋物線y=x²-2x-m（m＞0）與y軸交于點C，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點C₁．
（1）求拋物線的對稱軸及點C、C₁的坐標（可用含m的代數式表示）；
（2）如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C₁、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有平行四邊形的周長．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-m=（x-1）²-1-m，
∴對稱軸為直線x=1，
令x=0，得y=-m，即C（0，-m），
又∵C1與C點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴C1（2，-m）；

（2）如圖所示
①當P′Q∥CC₁且P′Q=2時，P′橫坐標為3，代入二次函數解析式求得P′（3，3-m），
②當PQ∥CC₁且PQ=2時，P橫坐標為-1，代入二次函數解析式求得P（-1，3-m），
③因為CC₁⊥Q'P″，當Q′F=P″F，CF=C₁F時，P″為二次函數頂點坐標，為（1，-1-m），
由于P″和Q′關于直線CC₁對稱，
所以Q′縱坐標為2（-m）+1+m=-m+1，
得Q′（1，1-m），
所以滿足條件的P、Q坐標為P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m），Q（1，3-m）；P″（1，-1-m），Q′（1，1-m），
∵Q點縱坐標為3-m，C點縱坐標為-m，
∴CW=3-m+m=3，又因為WQ=1，
∴CQ=

12+32

=

10

，又因為CC1=2，
∴平行四邊形CC₁P′Q周長為（2+

10

）×2=4+2

10

，
同理，平行四邊形CC₁QP周長也為4+2

10

；
∵CF=1，FQ=

1

2

[1-m-（-1-m）]=1，C′Q=

12+12

=

2

，
∴平行四邊形CC1P′Q周長為4

2

，
綜上所述：平行四邊形周長為4+2

10

或4

2

．