Question

（2009•房山區(qū)一模）已知關于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求證：該方程必有兩個實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別是x₁，x₂，若y₁是關于x的函數，且y₁=mx-1，其中m=x₁x₂，求這個函數的解析式；
（3）設y₂=kx²+（3k+1）x+2k+1，若該一元二次方程只有整數根，且k是小于0的整數．結合函數的圖象回答：當自變量x滿足什么條件時，y₂＞y₁？

Answer 1

【答案】分析：（1）用根的判別式判斷根的情況；
（2）用一元二次方程根與系數的關系，可以求出關于y₁解析式；
（3）根據已知方程只有整數根且k是小于0的整數確定出k的值，進而確定兩個函數的解析式，求出兩個函數的交點坐標，在坐標系中畫出圖象，再確定出y₂＞y₁時的x的取值范圍．
解答：（1）證明：∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，
∴△=b²-4ac
=9k²+6k+1-4k（2k+1）
=9k²+6k+1-8k²-4k=k²+2k+1
=（k+1）²≥0，
∴方程必有兩個實數根；

（2）解：∵方程的兩個實數根分別是x₁，x₂，
∴x₁x₂=，
而m=x₁x₂，y₁=mx-1，
∴；

（3）解：∵方程只有整數根且k是小于0的整數，
∴要為整數，只能為整數，
∴k=-1，
∴y₂=-x²-2x-1，y₁=x-1，
∴y₁與y₂的交點坐標為A（-3，-4）B（0，-1），
∴在坐標系中畫出兩函數的圖象如圖所示，
由圖象可知：
當-3＜x＜0時，y₂＞y₁．
點評：本題有一定的難度，先用到一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系來確定方程有根和函數的解析式，再求出了兩函數的交點坐標，從而在坐標系中畫出圖象，確定出x的取值范圍．