【題目】在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我們常常從特殊入手,猜想結(jié)論,并嘗試發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的策略與方法.
(問(wèn)題提出)
求證:如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)四邊形的對(duì)邊的平方和是一個(gè)定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.
請(qǐng)你在圖①中補(bǔ)全特殊殊位置時(shí)的圖形,并借助于所畫圖形探究問(wèn)題的結(jié)論.
(問(wèn)題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
【答案】【從特殊入手】見(jiàn)解析;【問(wèn)題解決】見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)、當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時(shí),然后根據(jù)直角三角形的勾股定理分別得出四條邊的平方,從而得出答案;(2)、作直徑DE,連接CE,根據(jù)弧與角的關(guān)系得出AB=CE,然后根據(jù)勾股定理得出答案.
詳解:【從特殊入手】
如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,
那么這個(gè)四邊形的對(duì)邊平方和是定圓半徑平方的4倍.
法1 如圖1,當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時(shí).
則AB2=OA2+ OB2=R2+R2=2R2, CD2=OC2+ OD2=R2+R2=2R2,
BC2=OC2+ OB2=R2+R2=2R2, AD2=OA2+ OD2=R2+R2=2R2.
所以AB2+CD2=BC2+AD2=2R2+2R2=4R2.
【問(wèn)題解決】
求證:AB2+CD2=BC2+AD2=4R2.
證明一:如圖2.作直徑DE,連接CE.
∵DE是直徑,∴∠DCE=90°. ∵所對(duì)的圓周角是∠E與∠DAH,
∴∠E=∠DAH. ∵∠DAC+∠ADB=90°,∠E+∠CDE=90°, ∴∠ADB=∠CDE.
∴=. ∴AB=CE. ∴AB2+CD2=CE2+CD2=DE2=4R2.
同理:BC2+AD2=4R2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,在BC邊上取點(diǎn)D,使AB=BD,構(gòu)造正方形ABDE,DE交AC于點(diǎn)F,作EG⊥AC交AC于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H.
(1)求證:EF=DH;
(2)若AB=6,DH=2DF,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】合肥某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每人每天生產(chǎn)2件甲或1件乙,甲產(chǎn)品每件可獲利15元.根據(jù)市場(chǎng)需求和生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件,當(dāng)每天生產(chǎn)5件時(shí),每件可獲利120元,每增加1件,當(dāng)天平均每件利潤(rùn)減少2元.設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.
(1)根據(jù)信息填表:
產(chǎn)品種類 | 每天工人數(shù)(人) | 每天產(chǎn)量(件) | 每件產(chǎn)品可獲利潤(rùn)(元) |
甲 | _______ | _________ | 15 |
乙 | x | x | __________ |
(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)多550元,求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn);
(3)該企業(yè)在不增加工人的情況下,增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品,要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每人每天可生產(chǎn)1件丙(每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品),丙產(chǎn)品每件可獲利30元,求每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)W(元)的最大值及相應(yīng)的x值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線y=kx(k≠0)與反比例函數(shù)y=﹣的圖象交于點(diǎn)A(x,y),B(x,y)則2xy+xy的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0),B(1﹣a,0),C(1+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),且始終滿足∠BPC=90°,則a的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB切⊙O與點(diǎn)A,BE切⊙O于點(diǎn)E,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接EC,若AD=8,tan∠DEC=,則CD=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,一次函數(shù)y=﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在第一象限,頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上.若正方形ABCD向左平移n個(gè)單位后,頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,則n的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l,過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AD,交⊙O于點(diǎn)D,連接OC,CD,BC,BD,且BD與OC交于點(diǎn) E.
(1)求證:△CDE≌△CBE;
(2)若AB=6,填空:
①當(dāng)的長(zhǎng)度是 時(shí),△OBE是等腰三角形;
②當(dāng)BC= 時(shí),四邊形OADC為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,將△ADE沿DE翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,當(dāng)A′D與△ABC的一邊平行時(shí),A′B=____________.
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