Question

如圖，在△ABC中，BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，則∠BPC=

 

．
（2）若∠A=70°，則∠BPC=

 

．
（3）試猜想∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)求出∠PBC+∠PCB的值，即可解決問題．
（2）設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β；證明∠P=180°-90°-

1

2

∠A，即可解決問題．
（3）證明方法同（2）中的方法．

解答：解（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，
∴∠DBC=140°，∠BCE=120°；
∵BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，
∴∠PBC+∠PCB=70°+60°=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
故答案為50°．
（2）設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β；
則∠DBC=∠A+β，∠BCE=∠A+α，
∵BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，
∴∠PBC+∠PCB=

∠A+α

2

+

∠A+β

2

=

∠A+∠A+α+β

2

=90°+

1

2

∠A，
∴∠P=180°-90°-

1

2

∠A
=90°-35°=55°．
故答案為55°．
（3）猜想：∠BPC=90°-

1

2

∠A．
證明：設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β；
則∠DBC=∠A+β，∠BCE=∠A+α，
∵BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，
∴∠PBC+∠PCB=

∠A+α

2

+

∠A+β

2

=

∠A+∠A+α+β

2

=90°+

1

2

∠A，
∴∠P=180°-90°-

1

2

∠A
=90°-

1

2

∠A．
即猜想成立．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷；科學(xué)求解論證．