分析:(1)根據(jù)弦切角定理得出∠PAB=∠BPE,利用切線長定理得出EP=EC,再利用三角形的外角性質(zhì)得出∠CPD=∠EPC+∠BPE,即可得出答案;
(2)首先得出△O1PA∽△O2DP,求出AP的長,進(jìn)而得出BC的長,再利用△DPC∽△CPB,△APC∽△ACD,即可得出PC,CD的關(guān)系即可得出PC的長.
解答:(1)證明:如圖1,過點(diǎn)P作兩圓的公切線PE,交BC于點(diǎn)E,
∵⊙O
1與⊙O
2外切于點(diǎn)P,直線AC切⊙O
2于點(diǎn)C,
∴EP=EC,∠PAB=∠BPE,
∴∠ECP=∠EPC,
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD,
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE,
∴∠BPC=∠CPD;
(2)解:如圖2,連接O
1O
2,AO
1,DO
2,CD,
∵∠O
1PA=∠O
1AP,∠O
2DP=∠O
2PD,∠O
1PA=∠O
2PD,
∴∠O
1PA=∠O
1AP=∠O
2DP=∠O
2PD,
∴△O
1PA∽△O
2DP,
∴
=
=
,
∵PD=10,
∴AP=20,
∵直線AC切⊙O
2于點(diǎn)C,
∴AC
2=AP×AD=(20+10)×20=600,
∴AC=10
,
∵AB=7
,
∴BC=3
,
∵直線AC切⊙O
2于點(diǎn)C,
∴∠PDC=∠PCB,
∵∠PDC=∠BPC,
∴△DPC∽△CPB,
∴
=
,
∴
=
,
∵∠CAP=∠DAC,∠PCA=∠CDA,
∴△APC∽△ACD,
∴
=
=
=
,
∴CD=
PC,
∴
=
,
解得:PC=2
.
點(diǎn)評:此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及弦切角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定,根據(jù)已知得出PC與CD的比例關(guān)系是解題關(guān)鍵.