【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)P為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AC、CP,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CP于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)M.

(1)若, ,求;

(2)若,求證: ;

(3)如圖2,在其他條件不變的情況下,將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”,且 AB≠BC,AC=AP,取CP中點(diǎn)E,連接EB,交AC于點(diǎn)O,猜想:∠AOB與∠ABM之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=5ADC=CDP=ABC=BCD=90°,由勾股定理求出AC,得出AP,即可求出SACP;(2)在CF上截取NG=FN,連接BG,則CF-CG=2FN,證出∠BCF=DCP,由ASA證明BCF≌△DCP,得出CF=CP,證出CG=BM,由SAS證明ABM≌△BCG,得出∠AMB=BGC,因此∠BMC=BGF,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=BG,得出∠BFG=BGF,因此∠BMC=CBM,即可得出結(jié)論;(3)連接AE,先證出∠BCA=2PAE,再證明∴AD、E、C四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得出∠DCP=PAE,得出∠BCF=PAE,證出∠BCA=2ABM,然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論.

試題解析:∴ADBC,AB=BC=CD=5,ADC=CDP=ABC=BCD=90

AC= =,

AP=AC=×=

SACP=AP×CD=××5=;

(2)證明:在CF上截取NG=FN,連接BG,如圖1所示:

CFCG=2FN,

CFCP,

∴∠PCF=90°,

∴∠BCF=DCP

BCFDCP, ,

BCFDCP(ASA)

CF=CP,

CPBM=2FN

CG=BM,

∵∠ABC=90°BMCF

∴∠ABM=BCG,BFG=CBM,

ABMBCG, ,

ABMBCG(SAS),

∴∠AMB=BGC,

∴∠BMC=BGF,

GN=FN,BMCF,

BF=BG,

∴∠BFG=BGF

∴∠BMC=CBM,

BC=MC;

(3)AOB=3ABM;理由如下:

連接AE并延長(zhǎng),交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2所示:

AC=APECP的中點(diǎn),

AECP,PE=CE,PAE=CAE

ADBC,

∴∠BCA=PAC=2PAE,PAE=G,

APEGCE

AE=GE,

CPAG的垂直平分線,

BE=GE,

∴∠G=CBE,

CFCP

AGFC,

∴∠G=BCF

∵∠PCF=90°,BCD=90°

∴∠BCF=DCP,

∴∠CBE=BCF,

∵∠ABM+BFC=90°,BCF+BFC=90°,

∴∠ABM=BCF,

∴∠CBE=ABM.

∵∠DCP+P=90°,PAE+P=90°,

∴∠DCP=PAE

∴∠BCF=PAE

∴∠ABM=BCF=PAE,

∴∠BCA=2ABM

∵∠AOB=CBE+BCA,

∴∠AOB=3ABM.

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