Question

如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求證：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,角平分線的性質,等腰三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結論；
（2）首先過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；

（2）解：過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=

1

2

BD=

1

2

×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=

1

2

BD=3，
∴BE=

BH

cos30°

=2

3

，
∴DE=BE=2

3

，
∴四邊形ADEF的面積為：DE•DG=6

3

．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．