Question

如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點(diǎn)P落在第四象限，頂點(diǎn)A、B分別落在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象的兩支上，且PB⊥x于點(diǎn)C，PA⊥y于點(diǎn)D，AB分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)E、F．已知B（1，3）．
（1）k=

 

；
（2）試說明AE=BF；
（3）當(dāng)四邊形ABCD的面積為

21

4

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=3；
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

3

a

），易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

a

），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

a

），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），根據(jù)圖形與坐標(biāo)的關(guān)系得到PB=3-

3

a

，PC=-

3

a

，PA=1-a，PD=1，則可計算出

PC

PB

=

PD

PA

=

1

1-a

，加上∠CPD=∠BPA，根據(jù)相似的判定得到△PCD∽△PBA，則∠PCD=∠PBA，于是判斷CD∥BA，根據(jù)平行四邊形的判定方法易得四邊形BCDF、ADCE都是平行四邊形，所以BF=CD，AE=CD，則BF=AE，于是有AE=BF；
（3）利用四邊形ABCD的面積=S_△PAB-S_△PCD，和三角形面積公式得到

1

2

•（3-

3

a

）•（1-a）-

1

2

•1•（-

3

a

）=

21

4

，整理得a+

3

2

=0，然后解方程求出a的值，再寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把B（1，3）代入y=

k

x

得k=1×3=3；
故答案為：3；

（2）反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

3

a

），
∵PB⊥x于點(diǎn)C，PA⊥y于點(diǎn)D，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

a

），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

a

），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴PB=3-

3

a

，PC=-

3

a

，PA=1-a，PD=1，
∴

PC

PB

=

- 3 a

3- 3 a

=

1

1-a

，

PD

PA

=

1

1-a

，
∴

PC

PB

=

PD

PA

，
而∠CPD=∠BPA，
∴△PCD∽△PBA，
∴∠PCD=∠PBA，
∴CD∥BA，
而BC∥DF，AD∥EC，
∴四邊形BCDF、ADCE都是平行四邊形，
∴BF=CD，AE=CD，
∴BF=AE，

（3）∵四邊形ABCD的面積=S_△PAB-S_△PCD，
∴

1

2

•（3-

3

a

）•（1-a）-

1

2

•1•（-

3

a

）=

21

4

，
整理得a+

3

2

=0，解得a=-

3

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形與坐標(biāo)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會利用三角形相似的知識證明角相等，從而證明直線平行．