Question

已知拋物線y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n為常數(shù))．

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方且在對(duì)稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．

①當(dāng)BC＝1時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；

②當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，求出這個(gè)最大值，指出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴n2－1＝0，∴n＝±1．當(dāng)n＝1時(shí)，y＝x2＋x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－0.5，－0.25)，在第三象限；當(dāng)n＝－1時(shí)，y＝x2－3x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1.5，－2.25)，在第四象限．所以拋物線的解析式為y＝x2－3x． 　　(2)①由y＝x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)．∵BC＝1，根據(jù)對(duì)稱性可得B(1，0)，∴A(1，－2)，BA＝2．所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為6． 　�、谠O(shè)B(x，0)，則A(x，x2－3x)，C(3－x，0)，D(3－x，x2－3x)．矩形的周長(zhǎng)為2(3－2x－x2＋3x)＝－2(x－0.5)2＋6.5，當(dāng)x＝0.5時(shí)，周長(zhǎng)最大值為6.5，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0.5，－1.25)．

提示：

根據(jù)條件求得解析式，畫出草圖．借助直觀圖形與拋物線的對(duì)稱性，利用圖形的幾何性質(zhì)和二次函數(shù)最大值求解方法解決問題．