Question

如圖（1），邊長為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D沿射線AB方向由A向B運(yùn)動，點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運(yùn)動，過點(diǎn)D作DE⊥AC，連結(jié)DF交射線AC于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時(shí)，求AE的長；

（2）當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求AD的長及△BDF的面積；

（3）小明通過測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，EG的長始終等于AC的一半，他想當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到圖（2）的情況時(shí)，EG的長始終等于AC的一半嗎？若改變，說明理由，若不變，請證明EG等于AC的一半.

 

Answer 1

（1）；（2）2，，（3）不變，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）解直角三角形ADE，根據(jù)30°角對應(yīng)直角邊為斜邊長一半即可解題；

（2）設(shè)AD=X，解直角三角形BDF即可求得X的值，即可求得△BDF的面積；

（3）過F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．

試題解析：（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=3，

在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，∴AE=AD•sinA=．

（2）設(shè)AD=x，則CF=x，

當(dāng)DF⊥AB時(shí)，RT△BDF中，∠F=30°，∴BF=2BD，6+x=2（6﹣x），解得x=2，∴AD=2．

∴BD=6﹣2=4，

DF=BD•tanB=，∴△BDF的面積為BD•DF=．

（3）過F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，∵∠AED=∠FHC，∠A=∠FCH，AD=CF，∴△ADE≌△CFH（AAS），

∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，

在△GDE和△GFH中，∵∠DEG=∠FHG，∠DGE=∠FGH，DE=FH，∴△GDE≌△GFH（AAS），

∴EG=GH，∴EG=EH=AC．

考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．