【題目】(2017貴州省遵義市)如圖,拋物線(a<0,a、b為常數(shù))與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn),直線AB的函數(shù)關(guān)系式為.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)M(m,0)是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),當(dāng)m為何值時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問條件下,當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí),動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′,將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間);
①探究:線段OB上是否存在定點(diǎn)P(P不與O、B重合),無論ON如何旋轉(zhuǎn),始終保持不變,若存在,試求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中,(NA+NB)的最小值.
【答案】(1),C(1,0);(2)m=﹣4;(3)①存在,P(0,3);②.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件得到B,A的坐標(biāo),解方程組得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式,令y=0,于是得到C的坐標(biāo);
(2)由點(diǎn)M(m,0),過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),得到D(m,),當(dāng)DE為底時(shí),作BG⊥DE于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=GD=ED,GM=OB=,列方程即可得到結(jié)論;
(3)①根據(jù)已知條件得到ON=OM′=4,OB=,由∠NOP=∠BON,特殊的當(dāng)△NOP∽△BON時(shí),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,于是得到結(jié)論;
②根據(jù)題意得到N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由①知,,得到NP=NB,于是得到(NA+NB)的最小值=NA+NP,此時(shí)N,A,P三點(diǎn)共線,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.
試題解析:(1)在中,令x=0,則y=,令y=0,則x=﹣6,
∴B(0,),A(﹣6,0),
把B(0,),A(﹣6,0)代入得:,
∴,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:,
令y=0,則=0,
∴x1=﹣6,x2=1,
∴C(1,0);
(2)∵點(diǎn)M(m,0),過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn),
∴D(m,),
當(dāng)DE為底時(shí),作BG⊥DE于G,則EG=GD=ED,GM=OB=,
∴=,解得:m1=﹣4,m2=9(不合題意,舍去),
∴當(dāng)m=﹣4時(shí),△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形;
(3)①存在,
∵ON=OM′=4,OB=,
∵∠NOP=∠BON,
∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí),,
∴不變,即OP==3,
∴P(0,3);
②∵N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由①知,,
∴NP=NB,
∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,
∴此時(shí)N,A,P三點(diǎn)共線,
∴(NA+NB)的最小值==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,OA=3,OC=4,點(diǎn)B是y軸上一動(dòng)點(diǎn),以AC為對角線作平行四邊形ABCD.
(1)求直線AC的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點(diǎn),記平行四邊形ABCD的面積為,請寫出與的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)BD取得最小值時(shí),函數(shù)的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng),能否使得平行四邊形ABCD是菱形?若能,求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列不等式變形,成立的是( )
A.若m<n,則m-2<n-2B.若m<n,則2-m<2-n
C.若m<n,則-2m<-2nD.若m<n,則
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,雙曲線(k>0)與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.
(1)若E是AB的中點(diǎn),求F點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若將△BEF沿直線EF對折,B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn),作EG⊥OC,垂足為G,請證明△EGD∽△DCF,并求出k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)為了解孩子們對《地理中國》 《最強(qiáng)大腦》 《挑戰(zhàn)不可能》 《超級演說家》 《中國詩詞大會》五種電視節(jié)目的喜愛程度,隨機(jī)在七、八、九年級抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每人只能選擇一種喜愛的電視節(jié)目),并將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了_________________名學(xué)生。
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖。
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,喜愛《地理中國》節(jié)目的人數(shù)所在的扇形的圓心角是__________度。
(4)若該校有1500名學(xué)生,請估計(jì)喜愛《最強(qiáng)大腦》節(jié)目的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn),點(diǎn)B的坐 標(biāo)為(6,n).線段OA=5,E為x軸上一點(diǎn),且sin ∠AOE=.
【1】求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式
【2】求△AOC的面積
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,小麗用棋子擺成三角形的圖案,觀察下面圖案并填空:
按照這樣的方式擺下去,擺第5個(gè)三角形圖案需要_____________枚棋子;擺第n個(gè)三角形圖案需要_________枚棋子(用含有n的代數(shù)式表示);擺第99個(gè)三角形圖案需要_______枚棋子.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長為4,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn).若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),若△CDM周長的最小值為8,則△ABC的面積為( )
A.12B.16C.24D.32
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