Question

在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在邊DC上，AE平分∠BAF．
（1）如圖①，求證：2∠AFE+∠DFA=180°；
（2）如圖②，若∠ADC=120°，DA=DF，作DG⊥AE于G，H為AF上一點(diǎn)，連接GH、HE，

S△AHE

S△AEF

=

1

2

，作HK⊥HG交AE于點(diǎn)K，試探究HK和EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長AE、BC相交于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠M．∠B=∠MCE，通過證明△ABE≌△MCE就可以得出AE=EM，就可以得出∠AFE=∠CFE，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）連接DH，作HI⊥BE于I，PG⊥HG交AF于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以得出GA=GD，就可以得出△GPA≌△GHD，就可以求出∠6=∠GKH=30°，得出

HI

HK

=

1

2

，由

HI

EF

=

1

2

就可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：延長AE、CD相交于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠2=∠M．
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠M．
∵E是線段BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE．
在△ABE和△MCE中

∠1=∠M ∠4=∠5 BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AE=ME．
∵AF=MF，
∴∠AFE=∠CFE．∠AEF=90°．
∵∠AFM+∠DFA=180°，
∴∠AFE+∠MFE+∠DFA=180°，
即2∠AFE+∠DFA=180°；

（2）解：HK=EF．
∵AD=DF，∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=30°．
∵DC∥AB，∠DAB=60°，
∴∠BAF=30°．
∵AE平分∠BAF，
∴∠3=∠4=15°，
∴∠1+∠3=45°．
∵DG⊥AE，
∴∠DGA=90°，
∴∠ADG=45°，
∴∠ADG=∠DAG，
∴AG=DG．
作EM⊥AF于點(diǎn)M．
∵

S△AHE

S△AEF

=

1

2

，
∴

AH．ME

2

=

HF．ME

2

，
∴AH=FH．
∴H為AF的中點(diǎn)．
作HI⊥BE于I，
∴∠HIA=∠HIK=90°，
∴∠AIH=∠AEF，
∴HI∥EF，
∴

HI

EF

=

AH

AF

=

1

2

．
PG⊥HG交AF于點(diǎn)P，
∴∠PGH=90°，
∴∠AGD=∠PGH，
∴∠AGD-∠PGD=∠PGH-∠PGD，
∴∠6=∠7．
在△AGP和△DGH中，

∠5=∠3 AG=DG ∠6=∠7

，
∴△AGP≌△DGH（ASA），
∴PG=HG，
∴∠HPG=∠3+∠6=45°，
∴∠6=30°．
∵HK⊥HG，
∴∠GHK=90°，
∴∠GHK=∠PGH，
∴PG∥HE，
∴∠HKG=∠6=30°，
∴

HI

HK

=

1

2

，
∴

HI

HK

=

HI

EF

，
∴HK=EF．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵．