Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 是矩形，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4，3）．

（1）直接寫(xiě)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）平行于對(duì)角線AC的直線 m 從原點(diǎn)O出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線 m 與矩形 OABC 的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

①若 MN＝AC，求 t 的值；

②設(shè)△OMN 的面積為S，當(dāng) t 為何值時(shí)，S=.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），C（0，3）；(2)①t＝2 或 6;②t＝2 或 4+2

【解析】

（1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①可以分為兩種情況：當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM的長(zhǎng)，即可求得t的值；當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，可證明△BMN∽△BAC，由題意可求得BM的長(zhǎng)，即可由相似三角形的性質(zhì)求得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
②可以分為兩種情況：當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM、ON的長(zhǎng)，即可求得面積的表達(dá)式，再由面積為可得t的值；當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積，可得關(guān)于t的表達(dá)式，再由面積為可得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．

解：（1）A（4，0），C（0，3）；

（2）①x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，直線 m 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t ， 可以分為兩種情況：

當(dāng) M、N 分別在 OA、OC 上時(shí)，如下圖所示：

∵直線 m 平行于對(duì)角線 AC

∴△OMN∽△OAC

∴==

∴t＝2；

當(dāng) M、N 分別在 AB、BC 上時(shí)，如下圖所示：

∵直線 m 平行于對(duì)角線 AC

∴△BMN∽△BAC

∴=＝ ＝

∴t＝6

綜上所述，當(dāng) t＝2 或 6 時(shí)，MN＝AC

得

②當(dāng) 0＜t≤4 時(shí)，OM＝t，△OMN∽△OAC，得 ，

∴ON＝t，S＝t2＝

∴t＝2；

當(dāng) 4＜t＜8 時(shí)，

如圖，∵OD＝t，∴AD＝t﹣4．

由△DAM∽△AOC，可得 AM＝（t﹣4）

∴BM＝6﹣t．

由△BMN∽△BAC，可得 BN＝BM＝8﹣t

∴CN＝t﹣4

S＝矩形 OABC 的面積﹣Rt△OAM 的面積﹣Rt△MBN 的面積﹣Rt△NCO 的面積

＝12﹣﹣（8﹣t）（6﹣t）﹣

＝﹣t2+3t，

∴﹣t2+3t=

解得：t=4±2

∴t=4+2

故當(dāng) t＝2 或 4+2時(shí)，△OMN 的面積 S＝ ．