Question

如圖在四邊形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)，
（1）如果AD∥BC，AD=BC．觀察猜想DF與BE之間的關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如果AB=7，BE=4．求線段BO的取值范圍．

Answer 1

解：（1）猜想：平行且相等
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)，
∴OE=OF，
∵在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴DF=BE，∠FDO=∠EBO，
∴DF∥BE，
即DF與BE之間的關(guān)系為平行且相等；

（2）在△ABE中，∵AB=7，BE=4，
∴3＜AE＜11，
∵AO＜AB，
∴6＜2AE=AO＜7，
∴6＜AO＜7，
在△ABO中，
1＜OB＜13，
在△BEO中，OB＜4，即1＜OB＜4．
分析：（1）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，由點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OC的中點(diǎn)得出OE=OF，再證明△DOF≌△BOE（SAS），進(jìn)而證明出猜想的結(jié)論；
（2）首先求出AE的長(zhǎng)度范圍，利用E時(shí)AO的中點(diǎn)，求出AO的長(zhǎng)度范圍，進(jìn)而求出BO的長(zhǎng)度取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理以及三角形三邊關(guān)系的判定，此題有一定的難度．