Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D在BC上一點(diǎn)，AC=2，CD=1，記∠CAD=α．
（1）試寫(xiě)出a的三個(gè)三角函數(shù)值；
（2）若∠B=α，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）在直角三角形ACD中，由AC與CD的長(zhǎng)求出AD的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出α的三個(gè)三角函數(shù)值即可；
（2）由∠CAD=∠B=α，且一對(duì)公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ACD與三角形BCA相似，由相似得比例，求出BD的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，AC=2，CD=1，
根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

5

，
則sinα=

CD

AD

=

5

5

，cosα=

AC

AD

=

2 5

5

，tanα=

1

2

；
（2）∵∠CAD=∠B=α，∠C=∠C=90°，
∴△ACD∽△BCA，
設(shè)BD=x，則BC=x+1，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即

2

x+1

=

1

2

，
解得：x=3，
則BD=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．