Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F．點E在⊙O外，作直線AE，且∠EAC＝∠D．

(1)求證：直線AE是⊙O的切線．

(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3.

【解析】

試題(1)、根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出∠BCA=90°，從而得出∠B+∠BAC=90°，根據(jù)∠B=∠D，∠EAC=∠D得出∠B=∠EAC，從而利用等量代換得出∠BAE=90°，得出切線；(2)、過點F作FH⊥BC于點H，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，根據(jù)CF的長度求出CH的長度，然后求出BH的長度，然后根據(jù)∠B=60°以及Rt△BFH的三角函數(shù)求出BF的長度．

試題解析：解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，

∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠B，∴∠EAC+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，

∴BA⊥AE， ∵BA過O， ∴直線AE是⊙O的切線．

(2)解：如圖，作FH⊥BC于點H，

∵∠BAD＝∠BCD，cos∠BAD＝， ∴cos∠BCD ＝，

在Rt△CFH中，∵CF＝ ∴CH＝CF·cos∠BCD＝×＝，

∵BC＝4， ∴BH＝BC－CH＝4－＝，

∵AB是⊙O的直徑， ∴∠BCA＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°，

∴BF＝＝＝3．