Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為y=

k

x

．在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′．
（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)O?與點(diǎn)A重合時(shí)，即點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，進(jìn)一步解直角三角形AOB，利用軸對(duì)稱的現(xiàn)在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=

1

2

t，OO′=t，過O′作O′N⊥X軸于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性點(diǎn)P在直線O′B′上，然后利用待定系數(shù)法求出直線O′B′的函數(shù)解析式，再求出反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

4 3

x

，代入上式整理得出方程關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的判別式b²-4ac≥0，求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)O?與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵∠AOB=60°，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O?B?．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=

1

2

t，OO′=t，
過O′作O′N⊥X軸于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=

1

2

t，NO′=

3

2

t，
∴O′（

1

2

t，

3

2

t），
根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P在直線O′B′上，
設(shè)直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得

1 2 tk+b= 3 t 2 tk+b=0

，
解得：

k=- 3 b= 3 t

，
∴y=-

3

x+

3

t①，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

）），代入反比例函數(shù)的解析式得：k=4

3

，
∴y=

4 3

x

②，
①②聯(lián)立得，

3

x²-

3

tx+4

3

=0，
即x²-tx+4=0③，
b²-4ac=t²-4×1×4≥0，
解得：t≥4，t≤-4．
又O′B′=2，根據(jù)對(duì)稱性得B′點(diǎn)橫坐標(biāo)是1+

1

2

t，
當(dāng)點(diǎn)B′為直線與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，
由③得，（x-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
代入，得（1+

1

2

t-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
解得t=±2

5

，
而當(dāng)線段O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，
t≤2

5

或t≥-2

5

，
綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2

5

或-2

5

≤t≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．