Question

6．平面直角坐標(biāo)系中，邊長為 a的正方形OABC如圖放置．
（1）①如圖1，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)B（a，a ）
②如圖1，a=$\sqrt{5}$，點(diǎn)D為OC上一點(diǎn)，連接BD，分別過點(diǎn)C、D作BD的垂線，垂足為M、N，若CM=1，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接對角線AC，點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不包含B、C），以O(shè)P為直角邊向上作等腰Rt△EOP，∠EOP=90°，EP交AC于H，求證：OH=$\frac{1}{2}$EP；并直接寫出OH的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形四邊相等即可解決問題．
②如圖1中，作NE⊥AB于E，NF⊥OA于F．則四邊形NFAE是矩形．，求出NF、NE即可．
（2）如圖2中，連接AE，作PF⊥BC交AC于F，先證明E、A、B共線，再證明△AEH≌△FPH，推出EH=PH即可解決問題．

解答 解：（1）①∵正方形ABCO的邊長為a，
∴OC=CB=AB=OA=a，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（a，a）．
故答案為a，a．

②如圖1中，作NE⊥AB于E，NF⊥OA于F．則四邊形NFAE是矩形．

∵∠CBM+∠ABN=90°，∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠CBM=∠BAN，
在△CBM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠BAN}\\{∠CMB=∠ANB=90°}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBN≌△BAN，
∴CM=BN=1，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=2，
∵$\frac{1}{2}$•AN•BN=$\frac{1}{2}$•NE•AB，
∴EN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=AF，
∴OF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{N}^{2}-N{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

（2）如圖2中，連接AE，作PF⊥BC交AC于F．

∵∠EOP=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠COP，
在△AOE和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOE=∠COP}\\{OE=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COP，
∴∠EAO=∠OCP=90°，AE=CP，
∴E、A、B共線，
∵∠PCF=∠PFC=45°，
∴PF=PC=AE，
∵AE∥PF，
∴∠AEH=∠FPH，
在△AEH和△FPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠FPH}\\{∠AHE=∠PHF}\\{AE=PF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△FPH，
∴EH=HP，
∴OH=$\frac{1}{2}$EP，
當(dāng)點(diǎn)P與C重合時，OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，OH=a，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜OH＜a．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．