Question

如圖，點P是⊙O外的一點，PA，PB為⊙O的兩條切線，E為PB的中點，連接EA，交⊙O于D點，連接PD并延長，交⊙O與C點．求證：AB=CD．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)弦切角定理得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)切割線定理得BE²=ED•EA，由于BE=PE，則EP²=ED•EA，加上∠DEP=∠PEA，則可證明△EPD∽△EAP，得到∠6=∠3，則∠6=∠4，所以∠7=∠1+∠6=∠2+∠4，即∠7=∠ACB，接著由圓周角定理得∠7=∠5，所以∠ACB=∠5，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AB=CB．

解答：證明：∵PA，PB為⊙O的兩條切線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵EB為⊙O的切線，EA為⊙O的割線，
∴BE²=ED•EA，
而E為PB的中點，
∴BE=PE，
∴EP²=ED•EA，即

EP

EA

=

ED

EP

，
而∠DEP=∠PEA，
∴△EPD∽△EAP，
∴∠6=∠3，
∴∠6=∠4，
∵∠7=∠1+∠6，
∴∠7=∠2+∠4，
即∠7=∠ACB，
∵∠7=∠5，
∴∠ACB=∠5，
∴AB=CB．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了弦切角定理、切割線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．