等邊三角形內(nèi)部一點到三個頂點的距離分別是3、4、5，則這個等邊三角形的邊長的平方是
 
．
分析：設(shè)PB=3，PA=4，PC=5，將△PBC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BDA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等邊三角形，得
∠DPB=60°；在△ADP中，AP2+DP2=42+32=25=AD2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠APD=90°，然后作BE⊥AP于E，得BE=
1
2
BP=
3
2
，
PE=
3
2
3
，AE=4+
3
2
3
，最后利用勾股定理即可得到等邊三角形的邊長的平方．
解答：精英家教網(wǎng)解：設(shè)PB=3，PA=4，PC=5，
將△PBC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BDA（如圖），
∴DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等邊三角形，
∴∠DPB=60°，
在△ADP中，AP2+DP2=42+32=25=AD2，
∴∠APD=90°，
所以∠APB=150°；
作BE⊥AP于E（如圖），
則∠BPE=30°，
∴BE=
1
2
BP=
3
2
，
∴PE=
3
2
3
，
∴AE=4+
3
2
3

∴AB2=BE2+AE2=(
3
2
)2+(4+
3
2
3
)2=25+12
3
．
故答案為25+12
3
．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理及其逆定理．
練習(xí)冊系列答案
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（2012•石景山區(qū)二模）閱讀下面材料：
小陽遇到這樣一個問題：如圖（1），O為等邊△ABC內(nèi)部一點，且OA：OB：OC=1：
2
：
3
，求∠AOB的度數(shù)．

小陽是這樣思考的：圖（1）中有一個等邊三角形，若將圖形中一部分繞著等邊三角形的某個頂點旋轉(zhuǎn)60°，會得到新的等邊三角形，且能達(dá)到轉(zhuǎn)移線段的目的．他的作法是：如圖（2），把△ACO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點C與點B重合，得到△ABO′，連接OO′．則△AOO′是等邊三角形，故OO′=OA，至此，通過旋轉(zhuǎn)將線段OA、OB、OC轉(zhuǎn)移到同一個三角形OO′B中．
（1）請你回答：∠AOB=
150
150
°．
（2）參考小陽思考問題的方法，解決下列問題：
已知：如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四邊形ABCD的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

等邊三角形內(nèi)部一點到三個頂點的距離分別是3、4、5，則這個等邊三角形的邊長的平方是________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

等邊三角形內(nèi)部一點到三個頂點的距離分別是3、4、5，則這個等邊三角形的邊長的平方是______．

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