Question

已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB邊上，且∠EDF=45°．
（1）利用畫(huà)圖工具，在右圖中畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形；
（2）猜想tan∠ADF的值，并寫(xiě)出求解過(guò)程．
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Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖所示；
（2）在BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，連接DG，根據(jù)△AGD≌△CED從而得到∠GDA=∠EDC，GD=ED，然后利用“邊角邊”證明△GDF≌△EDF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=EF，設(shè)AF=x，表示出BF、BE、EF，然后在Rt△BEF中利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可確定AF，進(jìn)而求得tan∠ADF的值．

解答：解：（1）如圖1． 
   
（2）猜想tan∠ADF的值為

1

3

．
求解過(guò)程如下：
如圖2．

在BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，連接DG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB=6，∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠GAD=90°．
在△AGD和△CED中，

AD=CD ∠GAD=∠C=90° AG=CE

，
∴△AGD≌△CED（SAS）．        
∴∠GDA=∠EDC，GD=ED，
∵∠FDE=45°，
∴∠ADF+∠EDC=45°．
∴∠ADF+∠GDA=45°．
∴∠GDF=∠EDF．
在△GDF和△EDF中，

GD=ED ∠GDF=∠EDF DF=DF

，
∴△GDF≌△EDF（SAS），
∴GF=EF．
設(shè)AF=x，則FB=6-x，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC=3．
∴AG=3．
∴FG=EF=3+x．
在Rt△BEF中，∠B=90°，
由勾股定理，得 BF²+BE²=EF²，
∴3²+（6-x）²=（3+x）²．
∴x=2．
∴AF=2．                     
∴在Rt△ADF中，tan∠ADF=

AF

AD

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握判定定理和性質(zhì)以及解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．