已知,如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的?如果存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,說(shuō)明理由.
解 (1)當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),
在Rt△BPQ中,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t.
∵cos B=,∴BP=BQ·cos B,
即3-t=t·.解之,得t=2.
當(dāng)∠BQP=90°時(shí),
在Rt△BPQ中,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t,
∵cos B=,∴BQ=BP·cos B,即t=(3-t)·.解之,得t=1.
綜上,t=1或t=2時(shí),△PBQ是直角三角形.
(2)∵S四邊形APQC=S△ABC-S△PBQ,
∴y=×3×3·sin 60°-×(3-t)·t·sin 60°
=t2-t+.
又∵S四邊形APQC=S△ABC,
∴t2-+=×,
整理得,t2-3t+3=0,Δ=(-3)2-4×1×3<0,
∴方程無(wú)實(shí)根.∴無(wú)論t取何值時(shí),四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的.
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