Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，點P是線段AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為點D，射線PD交射線BC于點E，設PA=x．
（1）當⊙P與BC相切時，求x的值；
（2）設CE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先利用∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$得到BC=6，AB=10，然后利用⊙P與BC相切于點M時得到PM⊥BC，然后利用平行線分線段成比例定理得到$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AC}$，從而求得答案；
（2）過點P作PH⊥AD，垂足為點H，利用已知條件以及勾股定理可分別得到PH，AH，AD，CD的長，再由PH∥BE，可得$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，所以$\frac{\frac{3}{5}x}{y}=\frac{\frac{4}{5}x}{8-\frac{8}{5}x}$，進而可求出y關于x的函數關系式；

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴BC=6，AB=10，
設⊙P與BC相切于點M時，
∴PM⊥BC，
∴PM∥AC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AC}$，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$，
∴x=$\frac{40}{9}$；

（2）過點P作PH⊥AD，垂足為點H，
∵∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PH=$\frac{3}{5}x$，
∵∠PHA=90°，
∴PH²+AH²=PA²，
∴HA=$\frac{4}{5}$x，
∵在⊙P中，PH⊥AD，
∴DH=AH=$\frac{4}{5}x$，
∴AD=$\frac{8}{5}$x，
又∵AC=8，
∴CD=8-$\frac{8}{5}$x，
∵∠PHA=∠BCA=90°，
∴PH∥BE，
∴$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}x}{y}=\frac{\frac{4}{5}x}{8-\frac{8}{5}x}$，
∴y=6-$\frac{6}{5}$x（0≤x≤5）．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握兩圓相切的性質和三角形相似的判定與性質；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算；題目的綜合性很強，牽扯到的知識點較多，對學生的綜合解題能力要求很高．