Question

11．拋物線y=ax（x-2）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸相交于另外一點(diǎn)A，頂點(diǎn)B在直線y=x上；

（1）如圖1，求a值；
（2）如圖2，點(diǎn)C為拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接OC與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作x軸平行線，與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E，與拋物線相交于點(diǎn)F，若BD=DE，求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M在線段OF上，連接并延長(zhǎng)CM至點(diǎn)R，點(diǎn)N在第一象限的拋物線上，連接CN，EN，且CN=CM=RN，當(dāng)∠CNR=4∠FCM時(shí)，求點(diǎn)N坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先解方程ax（x-2）=0得到則A（2，0），則利用對(duì)稱性得到B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再利用頂點(diǎn)B在直線y=x上得到B（1，1），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax（x-2）中求出a即可；
（2）拋物線解析式為y=-x²+2x，直線x=1交x軸于K，如圖2，設(shè)C（t，-t²+2t），則E（1，-t²+2t），利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到D（1，$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$），再證明△OKD∽△CED，然后利用相似比得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作NQ⊥CF于Q，MP⊥CF于P，CF交y軸于點(diǎn)H，如圖3，先求出F點(diǎn)坐標(biāo)得到CF=4，F(xiàn)H=1，OH=3，設(shè)N（m，-m²+2m），則E（1，-m²+2m），則NQ=-m²+2m+3，再證明△CNQ≌△MCP得到CP=NQ=-m²+2m+3，CQ=MP=3-m，所以FP=CF-PC=m²-2m+1，接著證明△FPM∽△FHO，然后利用相似得到方程（3-m）：3=（m²-2m+1）：1，再解方程求出m即可得到N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，ax（x-2）=0，解得x₁=0，x₂=2，則A（2，0），
所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
而頂點(diǎn)B在直線y=x上；
所以B（1，1），
把B（1，1）代入y=ax（x-2）得a=-1；
（2）拋物線解析式為y=-x²+2x，直線x=1交x軸于K，如圖2，
設(shè)C（t，-t²+2t），則E（1，-t²+2t），
∵BD=DE，即D點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，
∴D（1，$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$），
∴KD=$\frac{{t}^{2}-2t-1}{2}$，DE=$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$-（-t²+2t）=$\frac{{t}^{2}-2t+1}{2}$，
∵OK∥CE，
∴△OKD∽△CED，
∴OK：CE=DK：DE，即1：（t-1）=$\frac{{t}^{2}-2t-1}{2}$：$\frac{{t}^{2}-2t+1}{2}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=3，
∴C（3，-3）；
（3）作NQ⊥CF于Q，MP⊥CF于P，CF交y軸于點(diǎn)H，如圖3，
∵點(diǎn)C（3，-3）與點(diǎn)F關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴F（-1，-3），
∴CF=4，F(xiàn)H=1，OH=3，
設(shè)N（m，-m²+2m），則E（1，-m²+2m），則NQ=-m²+2m+3，
∵NR=NC，
∴∠NRC=∠NCR，
∴∠NCR=$\frac{1}{2}$（180°-∠CNR），
而∠CNR=4∠FCM，
∴∠NCR=90°-2∠FCM，
∵∠NCR=90°-∠CNQ-∠FCM，
∴90°-2∠FCM=90°-∠CNQ-∠FCM，
∴∠FCM=∠CNQ，
在△CNQ和△MCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CQN=∠MPC}\\{∠CNQ=∠MCP}\\{NC=CM}\end{array}\right.$，
∴△CNQ≌△MCP，
∴CP=NQ=-m²+2m+3，CQ=MP=3-m，
∴FP=CF-PC=4-（-m²+2m+3）=m²-2m+1，
∵M(jìn)P∥OH，
∴△FPM∽△FHO，
∴MP：OH=FP：FH，即（3-m）：3=（m²-2m+1）：1，
解得m=$\frac{5}{3}$，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；會(huì)利用全等三角形的知識(shí)證明線段相等和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．