Question

如圖，直線l：y=4-2x與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，且與直線m相交于點(diǎn)M（1，2），已知直線m經(jīng)過點(diǎn)C（-1，0），且與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及直線m的解析式；
（2）求四邊形OAMD的面積；
（3）若P是直線m上一動點(diǎn)，試求OP+AP的最小值；
（4）若點(diǎn)N在x軸上，且△OMN是等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在解析式y(tǒng)=4-2x中令x=0，求得y的值即可求得與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，求得x的值，即可得到與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線m的解析式；
（2）首先求得M的坐標(biāo)，作MN⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形OAMD的面積=S_△AME+S_梯形DOEM即可求解；
（3）首先求得O關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則此點(diǎn)與A之間的線段的長度就是所求的OP+AP的最小值；
（4）分O是頂角頂點(diǎn)，M是頂角頂點(diǎn)，N是頂角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．

解答：解：（1）在y=4-2x中，令x=0，解得：y=4，則B的坐標(biāo)是（0，4），
令y=0，則4-2x=0，解得：x=2，則A的坐標(biāo)是（2，0）．
設(shè)直線m的解析式是y=kx+b，
則

k+b=2 -k+b=0

，
解得：

k=1 b=1

．
則直線m的方程是y=x+1；
（2）解方程組

y=x+1 y=4-2x

，
解得：

x=1 y=2

，
則M的坐標(biāo)是（1，2），
作MN⊥x軸于點(diǎn)E，則E的坐標(biāo)是（1，0），則ME=2，AE=2-1=1．
則S_△AME=

1

2

×1×2=1，S_梯形DOEM=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，
則S_{四邊形OAMD}=1+

3

2

=

5

2

；
（3）經(jīng)過O且與直線m垂直的直線的解析式是：y=-x，
根據(jù)題意得：

y=-x y=x+1

，
解得：

x=- 1 2 y= 1 2

，
則直線y=-x和直線m的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-

1

2

，

1

2

），設(shè)O關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，n），
則

m 2 =- 1 2 n 2 = 1 2

，
解得：

m=-1 n=1

，即O關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，1）．
則OP+AP最小值是：

(2+1)2+12

=

10

；
（4）OM=

12+22

=

5

，
當(dāng)O是頂角頂點(diǎn)時，N的坐標(biāo)是（-

10

，0）或（

10

，0）；
當(dāng)M是頂角頂點(diǎn)時，ME是O和N的對稱軸，則N的坐標(biāo)是（2，0）；
當(dāng)N是頂角頂點(diǎn)時，OM的中點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，1），設(shè)直線OM的解析式是y=ax，則把（1，2）代入解析式得：a=2，即解析式是y=2x，
則經(jīng)過OM的中點(diǎn)，且與OM垂直的直線的解析式是y=-

1

2

x+b，則-

1

2

×

1

2

+b=1，
解得：b=

5

4

，則直線的解析式是：y=-

1

2

x+

5

4

，令y=0，解得：x=

5

2

，則N的坐標(biāo)是（

5

2

，0）．
總之，N的坐標(biāo)是：（-

10

，0）或（

10

，0）或（2，0）或（

5

2

，0）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與等腰三角形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰三角形的計算，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．