Question

【題目】正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，∠ABE=∠CBF=15°，G是AD上另一點(diǎn)，且∠BGD=120°，連接EF、BG、FG、EF、BG交于點(diǎn)H，則下面結(jié)論：①DE=DF；②△BEF是等邊三角形；③∠BGF=45°；④BG=EG+FG中，正確的是（請(qǐng)?zhí)罘��?hào)）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】證明：連接BD，在BG上取一點(diǎn)M，使得GM=GF． ∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD，∠ABC=∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF，
∴BE=BF，AE=CF，
∴DE=DF，故①正確，
∵∠ABE=∠CBF=15°，
∠EBF=60°，
∴△EBF是等邊三角形，故②正確，
∵∠BGD=120°，
∴∠EGH=∠HFB=60°，
∵∠EHG=∠BHF，
∴△EHG∽△BHF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠EHB=∠GHF，
∴△EHB∽△GHF，
∴∠BEH=∠BGF=60°，故③錯(cuò)誤，
∵GM=GF，
∴△GMF是等邊三角形，
∴FM=FG，∠MFG=∠BFE=60°，
∴∠BFM=∠EFG，∵BF=FE，
∴△BFM≌△EFG，
∴BM=EG，
∴GB=GM+BM=GF+EG，故④正確．
所以答案是①②④．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．