【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線軸交于點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.

1)求直線的解析式;

2)點(diǎn)為線段上一點(diǎn),點(diǎn)為線段上一點(diǎn),,連接,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的面積為),求之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

3)在(2)的條件下,當(dāng)取最大值時(shí),若點(diǎn)是平面內(nèi)的一點(diǎn),在直線上是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) ;(2) ;(3)存在,N點(diǎn)坐標(biāo)為(,)(,)(0,3)()

【解析】

(1)求出A(-4,0),B(0,3),C(4,0),利用待定系數(shù)法求BC的解析式即可;
(2)過(guò)點(diǎn)AADBC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)PPEBC于點(diǎn)E,PFOB于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),求出AD的長(zhǎng),利用三角形函數(shù)求出BQ=AB-PB=5+,再由,代入所求量即可求解;
(3)(2)求出P、Q點(diǎn)坐標(biāo),分四種情況分別求N點(diǎn)坐標(biāo):當(dāng)N點(diǎn)在PQ上方時(shí);當(dāng)N點(diǎn)在PQ下方時(shí);當(dāng)PQ為菱形對(duì)角線時(shí);當(dāng)PN為菱形對(duì)角線時(shí).

(1)對(duì)于直線當(dāng),;當(dāng),
,
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為,
設(shè)直線BC的解析式為,
將點(diǎn)BC代入解析式可得:,

解得:

∴直線BC的解析式為;

(2)如圖:過(guò)點(diǎn)AADBC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)PPEBC于點(diǎn)E,PFOB于點(diǎn)F


,C

OA=OC=4,OB=3
AC=8,AB=BC=5,
,即,

∵點(diǎn)P在直線上,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),

,cosBPF=cosBAO,

,

,

,

AP=BQ,
,

(3),

∴當(dāng)時(shí),S有最大值,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)

,

∵點(diǎn)Q在直線上,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),

,

,

解得:,
Q在線段BC上,

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),

PQx軸,


如圖:當(dāng)N點(diǎn)在PQ上方時(shí),過(guò)N點(diǎn)作NHPQ交于點(diǎn)H,


PQ軸,

,

PN=PQ=4,

N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,

N點(diǎn)橫坐標(biāo)為

解得:,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(),

同理,當(dāng)N點(diǎn)在PQ下方時(shí),N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為()

PQ關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)PQ為菱形對(duì)角線時(shí),
∴當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,3)時(shí),NPMQ是菱形;
如圖:當(dāng)PN為菱形對(duì)角線時(shí),
Q點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為M
設(shè)QMPN的交點(diǎn)為G,過(guò)G點(diǎn)作LKPQPQ于點(diǎn)K,交MN于點(diǎn)L,


MQPN,,

,

,

,

∵點(diǎn)P,Q,N,M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,且PN為菱形對(duì)角線,

MNPQ,即MLKQ,

又∵Q點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為M,

QG=GM

,

,

N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,

N點(diǎn)橫坐標(biāo)為,

解得:,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,),

綜上所述:點(diǎn)P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為()(,)(0,3)(,)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,,分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)為弧上一點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),為弧上的一點(diǎn),連接于點(diǎn),連接,且

1)如圖1,求證:

2)如圖2,連接,若,求證:平分;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接于點(diǎn),連接,,求的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖①,ABC是等腰直角三角形,在兩腰ABAC外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABDACE,AMAN分別是等邊三角形ABDACE的角平分線,連接CM、BN,CMAB交于點(diǎn)P

1)求證:CMBN;

2)如圖②,點(diǎn)F為角平分線AN上一點(diǎn),且∠CPF30°,求證:APF∽△AMC;

3)在(2)的條件下,求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在OABOCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空:

的值為   ;

②∠AMB的度數(shù)為   

(2)類比探究

如圖2,在OABOCD中,∠AOB=COD=90°,OAB=OCD=30°,連接ACBD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說(shuō)明理由;

(3)拓展延伸

在(2)的條件下,將OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,OB=,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀下列內(nèi)容,并解決問(wèn)題.

一道習(xí)題引發(fā)的思考

小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時(shí),遇到了一個(gè)習(xí)題,并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究;

習(xí)題再現(xiàn):

古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出,如果表示大于1的整數(shù),,,那么,為勾股數(shù).你認(rèn)為對(duì)嗎?如果對(duì),你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?

資料搜集:

定義:勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).一般地,若三角形三邊長(zhǎng),都是正整數(shù),且滿足,那么,,稱為一組勾股數(shù).

關(guān)于勾股數(shù)的研究:我囯西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了“勾三,股四,弦五”,這組數(shù)是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股效,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進(jìn)行過(guò)勾股數(shù)的研究.習(xí)題中的表達(dá)式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式,這個(gè)表達(dá)式未給出全部勾股數(shù),世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九幸算術(shù)),其勾股數(shù)公式為:,,,其中,是互質(zhì)的奇數(shù).(注:,的相同倍數(shù)組成的一組數(shù)也是勾股數(shù))

問(wèn)題解答:

1)根據(jù)柏拉圖的研究,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出一組勾股數(shù);

2)若表示大于1的整數(shù),試證明是一組勾股數(shù);

3)請(qǐng)舉出一個(gè)反例(即寫出一組勾股數(shù)),說(shuō)明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,菱形OABC的一邊OAx軸負(fù)半軸上.O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(130),對(duì)角線ACOB相交于點(diǎn)D,且ACOB130,若反比例函數(shù)yx0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,并與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E

1)求雙曲線y的解析式;

2)求SAOBSOCE之值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某工程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的綠化工程,由于情況有變,設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬(wàn)平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省路的部分是(

A.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

B.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

C.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

D.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示,它與x,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,P是其對(duì)稱軸x=1上的動(dòng)點(diǎn),根據(jù)圖中提供的信息,給出以下結(jié)論:①2a+b=0,x=3ax2+bx+3=0的一個(gè)根,③△PAB周長(zhǎng)的最小值是+3.其中正確的是(  )

A. ①②③ B. 僅有①② C. 僅有①③ D. 僅有②③

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在中,,.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到,其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上,則圖中陰影部分的面積是_____

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