Question

如圖，正方形AOCB在平面直角坐標系xoy中，點O為原點，點B在反比例函數（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．
（1）求反比例函數的關系式；
（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關于t的函數關系式，并求出當運動時間t取何值時，△BEF的面積最大？
（3）當運動時間為秒時，在坐標軸上是否存在點P，使△PEF的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形AOCB為正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
設點B坐標為（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴，
∴a=±4
又∵點B在第一象限
點B坐標為（4，4），
將點B（4，4）代入得，k=16
∴反比例函數解析式為；

（2）∵運動時間為t，
∴AE=t，BF=2t
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當t=2時，△BEF的面積最大；

（3）存在．
當時，點E的坐標為（，4），點F的坐標為（4，）
①作F點關于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，），經過點E、F₁作直線
由E（，4），F₁（4，）代入y=ax+b得：
，
解得：，
可得直線EF₁的解析式是
當y=0時，
∴P點的坐標為（，0）
②作E點關于y軸的對稱點E₁，得E₁（，4），經過點E₁、F作直線
由E₁（，4），F（4，）設解析式為：y=kx+c，
，
解得：，
可得直線E₁F的解析式是：
當x=0時，
∴P點的坐標為（0，），
∴P點的坐標分別為（，0）或（0，）．
分析：（1）首先利用三角形面積求出正方形邊長，進而得出B點坐標，即可得出反比例函數解析式；
（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數最值求法得出即可；
（3）①作F點關于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，），經過點E、F₁作直線求出圖象與x軸交點坐標即可；
②作E點關于y軸的對稱點E₁，得E₁（，4），經過點E₁、F作直線求出圖象與y軸交點坐標即可．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及待定系數法求反比例函數解析式和二次函數最值問題等知識，利用軸對稱得出對應點是解題關鍵．