Question

【題目】如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．

（1）求證：AB＝AC；

（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；

（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．

證明：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：

∵AO平分∠BAC．

∴OD＝OE．

，

．

，

，

∴AB＝AC；

（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，

∵AM＝CN，AB＝AC

∴BM＝AN．

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠BAO．

∵∠BAO＝∠OAN，

∴∠B＝∠OAN，

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，

∴∠AOB＝∠MON，

∴△NOM∽△BOA，

∴．