Question

如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AB與BC交于點D，線段AD的垂直平分線與線段BC的延長線交于點F．若BD=3，CF=4，則CD=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△ABF∽△CAF，列出比例式

BF

AF

=

AF

CF

，求出CF即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AF；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD（設(shè)為α）；
∵EF⊥AD，且平分AD，
∴AF=DF，∠ADF=∠DAF（設(shè)為β）；
∵∠ACF=∠ADC+∠DAC=α+β，
∠BAF=α+β，
∴∠ACF=∠BAF，而∠ACF=∠ACF，
∴△ABF∽△CAF，
∴

BF

AF

=

AF

CF

①；設(shè)DC=λ；
∵BF=7+λ，AF=DF=4+λ，CF=4，
∴代入①式并整理得：λ²+4λ-12=0，
解得：λ=2或-6（舍去）．
故答案為2．

點評：該題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．