Question

一張臺面為長方形ABCD的臺球桌，只有四個(gè)角袋（分別以臺面頂點(diǎn)A、B、C、D表示），臺面的長、寬分別是m、n（m、n為互質(zhì)的奇數(shù)，且m＞n），臺面被分成m×n個(gè)正方形．只用一個(gè)桌球，從桌角A以與桌邊成45°夾角射出，碰到桌邊后也以與桌邊成45°角反彈（入射線與反射線垂直，如圖）．假設(shè)桌球不受阻力影響，在落袋前能一直運(yùn)動(dòng)．
求證：不論經(jīng)過多少次反彈，桌球都不可能落入D袋．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題意作圖，然后由m、n均為奇數(shù)，分析可得由于桌球從A點(diǎn)以45°角射出，碰到桌邊也以45°角反彈，當(dāng)桌球反彈至鄰邊時(shí)，射線與兩邊桌邊圍成一個(gè)等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點(diǎn)也就是球的射線的兩端點(diǎn)編號必相同，依次可求得桌球不可能落入的D袋中．
解答：證明：如圖：將桌邊的正方形頂點(diǎn)從A開始：
按逆時(shí)針方向依次編號為0，1，0，1…，0，1，
∵m、n均為奇數(shù)，
∴點(diǎn)B的編號必為1，點(diǎn)C的編號必為0，點(diǎn)D的編號必為1．
由于桌球從A點(diǎn)以45°角射出，碰到桌邊也以45°角反彈，
當(dāng)桌球反彈至鄰邊時(shí)，射線與兩邊桌邊圍成一個(gè)等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點(diǎn)也就是球的射線的兩端點(diǎn)編號必相同，
（如圖中射線EF，等腰Rt△ECF中，∵EC=CF，∴從E經(jīng)H、C、K到F，編號變?yōu)榕紨?shù)次，E與F的編號必相同）…：
當(dāng)桌球反彈至對邊時(shí)，球的射線的兩個(gè)端點(diǎn)的編號必也相同（如圖中射線PG，因?yàn)镻H=HG=CD，HC+DG，從P經(jīng)路徑ECFD到G，編號也變了偶數(shù)次，P與G的編號必也相同）．
綜上，不論經(jīng)過多少次的反彈，桌球在桌邊碰到的點(diǎn)的編號均為與A點(diǎn)的編號相同，而A點(diǎn)的編號為0，
所以桌球不可能落入編號為1的D袋中．
點(diǎn)評：此題考查了反射的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．