Question

一張臺(tái)面為長(zhǎng)方形ABCD的臺(tái)球桌，只有四個(gè)角袋（分別以臺(tái)面頂點(diǎn)A、B、C、D表示），臺(tái)面的長(zhǎng)、寬分別是m、n（m、n為互質(zhì)的奇數(shù)，且m＞n），臺(tái)面被分成m×n個(gè)正方形．只用一個(gè)桌球，從桌角A以與桌邊成45°夾角射出，碰到桌邊后也以與桌邊成45°角反彈（入射線(xiàn)與反射線(xiàn)垂直，如圖）．假設(shè)桌球不受阻力影響，在落袋前能一直運(yùn)動(dòng)．
求證：不論經(jīng)過(guò)多少次反彈，桌球都不可能落入D袋．

Answer 1

證明：如圖：將桌邊的正方形頂點(diǎn)從A開(kāi)始：
按逆時(shí)針?lè)较蛞来尉幪?hào)為0，1，0，1…，0，1，
∵m、n均為奇數(shù)，
∴點(diǎn)B的編號(hào)必為1，點(diǎn)C的編號(hào)必為0，點(diǎn)D的編號(hào)必為1．
由于桌球從A點(diǎn)以45°角射出，碰到桌邊也以45°角反彈，
當(dāng)桌球反彈至鄰邊時(shí)，射線(xiàn)與兩邊桌邊圍成一個(gè)等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點(diǎn)也就是球的射線(xiàn)的兩端點(diǎn)編號(hào)必相同，
（如圖中射線(xiàn)EF，等腰Rt△ECF中，∵EC=CF，∴從E經(jīng)H、C、K到F，編號(hào)變?yōu)榕紨?shù)次，E與F的編號(hào)必相同）…：
當(dāng)桌球反彈至對(duì)邊時(shí)，球的射線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的編號(hào)必也相同（如圖中射線(xiàn)PG，因?yàn)镻H=HG=CD，HC+DG，從P經(jīng)路徑ECFD到G，編號(hào)也變了偶數(shù)次，P與G的編號(hào)必也相同）．
綜上，不論經(jīng)過(guò)多少次的反彈，桌球在桌邊碰到的點(diǎn)的編號(hào)均為與A點(diǎn)的編號(hào)相同，而A點(diǎn)的編號(hào)為0，
所以桌球不可能落入編號(hào)為1的D袋中．