Question

【題目】（1）如圖 1，在 ABCD 中，AC、BD 交于點(diǎn) O，過點(diǎn) O 的直線 l 交 AB 于 E， 交 CD 于 F，①判斷 OE 和 OF 的數(shù)量關(guān)系： ，并證明；

② S四邊形AEFD S四邊形CFEB （填“>” 或“=” 或“<”）．

（2）如圖 2 是一塊“L”形的材料，請(qǐng)你作一條直線 m，使得直線 m 兩邊的材料的面積相等（保留作圖痕跡，不用證明）．

（3）如圖 3，正方形 ABCD 的邊長為 2cm，動(dòng)點(diǎn) P、Q 分別從點(diǎn) A、C 同時(shí)出發(fā)，以 相同的速度分別沿 AD、CB 向終點(diǎn) D、B 移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) D 時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過點(diǎn) C 作 CH⊥PQ，垂足為點(diǎn) H，連接 BH，則 BH 長的最小值為 cm（保留作圖痕跡， 直接填寫結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）①OE＝OF，證明見詳解；②＝；（2）答案見詳解；（3）

【解析】

（1）①通過證明△AOE≌△COF即可判斷OE，OF的數(shù)量關(guān)系；

②利用平行四邊形和全等三角形的性質(zhì)得到，，然后利用等式的性質(zhì)求解；

（2）直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案；

（3）設(shè)正方形的中心為O，可證PQ經(jīng)過O點(diǎn)．連結(jié)OC，取OC中點(diǎn)M，連結(jié) MH，MB，利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求出MB的長，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出MH的長，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=OC，AB∥CD，

∴∠EAO=∠FCO，

在△EAO和△FCO中，

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

故答案為：OE=OF；

②∵在 ABCD 中，

又由①可知△AOE≌△COF

∴

∴

即S四邊形AEFD=S四邊形CFEB

故答案為：=；

（2）如圖所示：

先找到兩個(gè)矩形的中心，然后連接中心

直線m即為所求

（3）設(shè)正方形的中心為O，

由題意可知PD=BQ

∴在正方形ABCD中可知PQ經(jīng)過O點(diǎn)．

連結(jié)OC，取OC中點(diǎn)M，連結(jié) MH，MB，

∵正方形 ABCD 的邊長為 2cm

∴CO=BO=，OM=MC=

∴

∵CH⊥PQ

∴MH=

BH≥BM-MH

即BH≥

∴當(dāng)B，H，M三點(diǎn)共線時(shí)，BH最小為

故答案為：．