Question

【題目】如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=6，OB=8，OC=10，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為8；③S四邊形AOBO′=24+12 ；④S△AOC+S△AOB=24+9；⑤S△ABC=36+25； 其中正確的結(jié)論有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵△ABC為正三角形，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴∠OBO′=∠ABC=60°，OB=O′B，AB=BC，
即∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
故①正確；
②如圖1：連接OO′，
∵將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′為正三角形，
又∵OB=8，
∴OO′=8；
故②正確；

③由①知△BO′A≌△BOC，
∵OC=10，
∴AO′=CO=10，
∴AO′2=AO2+OO′2，
∴△AOO′為直角三角形，
∴S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′=×6×8+×8×4=24+16 ；
故③錯(cuò)誤；
④如圖2，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O′′，
∴∠OAO′′=60°，OA=O′′A，OB=O′′C，
∵OA=6，
∴△AOO′′是邊長(zhǎng)為6的正三角形，
又∵OB=8，OC=10，
∴O′′C=8，
∴OC2=OO′′2+O′′C2，
∴△COO′′為直角三角形，
∴S△AOC+S△AOB=S△AOC+S△AO′′C=S△O′′OC+S△AO′′O=×6×8+×6×3=24+9，
故④正確；

⑤S△AOB=×6×8×=12，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△AOB+S△ABO′+S△AOC=S△AOO′+S△BOO′+S△O′′OC+S△AO′′O-S△AOB=24+16+24+9-12=36+25；
故⑤正確；
綜上所述正確的結(jié)論有：①②④⑤.
所以答案是：D.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對(duì)勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．