【題目】在平面直角坐標系中,正方形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上,等腰Rt△ADE的兩個頂點D、E和正方形頂點B三點在一條直線上.
(1)如圖1,連接OD,求證:△OAD≌△BAE;
(2)如圖2,連接CD,求證:BE﹣ DE= CD;
(3)如圖3,當圖1中的Rt△ADE的頂點D與點B重合時,點E正好落在x軸上,F為線段OC上一動點(不與O、C重合),G為線段AF的中點,若CG⊥GK交BE于點K時,請問∠KCG的大小是否變化?若不變,請求其值;若改變,求出變化的范圍.
【答案】
(1)
證明:如圖1,在正方形ABCO中,
∵∠BAF=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠EAF,
∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF,
即∠OAD=∠BAE,
∵AB=AO,AD=AE,
∴△OAD≌△BAE
(2)
證明:如圖2,設CD與AB的交點為P,
過C作CF⊥OD于F,過A作AN⊥DE于N,AM⊥OD于M,
∵等腰Rt△ADE,AD=AE,
∴AN=DN= DE,
∴四邊形ANDM是正方形,
∴DN=DM,
∴BE﹣ DE=OD﹣DM=OM,
由①△OAD≌△BAE得,∠ODA=∠BEA=45°,
∴∠ODE=90°,
∵∠OAB=∠ODB=90°,∠OPA=∠BPD,
∴△OAP∽△BDP,
∴ ,
∴ ,
∵∠CBD=90°+∠ABE,∠APD=90°+∠AOD,
∠ABE=∠AOD,
∴∠CBD=∠APD,
∴△CBD∽△APD,
∴∠CDB=∠ADO=45°,
∴∠ODC=90°﹣45°=45°,
∵sin45°= ,
∴CF= ,
∵△COF≌△OAM,
∴CF=OM,
∴BE﹣ DE= CD
(3)
證明:如圖3,∠KCG的大小不變,理由是:
過K作KM⊥AB于M,KN⊥BC,交CB的延長線于N,延長CG、BA交于Q,連接KQ,
∵∠N=∠MBN=∠BMK=90°,
∴四邊形BMKN是矩形,
∵AB=AE,∠BAE=90°,
∴∠ABE=45°,
∴BM=KM,
∴矩形BMKN是正方形,
∵OC∥AB,
∴∠OCG=∠GQA,
∵FG=AG,∠CGF=∠AGQ,
∴△FCG≌△AQG,
∴CG=QG,
∵CG⊥GK,
∴KC=KQ,
∵KN=KM,
∴Rt△CNK≌Rt△QMK,
∴∠CKN=∠QKM,
∴∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90°,
∴△KCQ是等腰直角三角形,
∴∠KCG=∠KQC=45°
【解析】(1)利用同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF,由此得∠OAD=∠BAE,根據SAS證明△OAD≌△BAE;(2)作輔助線構建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD,把所求CD轉化為CF,證CF=OM,由(1)中的全等可知∠ODA=∠BEA=45°,證明∠ODC=45°,推出CF與CD的關系,利用直角三角形斜邊中線和正方形的性質求出BE﹣ DE的值為OM,得出結論;(3)作輔助線構建正方形BMKN和全等三角形,首先利用全等證明CG=QG,由線段垂直平分線性質得KC=KQ,證明Rt△CNK≌Rt△QMK,得∠CKN=∠QKM,可知∠CKQ=90°,得△KCQ是等腰直角三角形,因此得出結論:∠KCG的大小不變,等于45°.
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質,掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點A(1,3)和B(-3, ).
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)點C是平面直角坐標系內一點,BC∥軸,AD⊥BC于點D,連結AC,若,求點C的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】一種實驗用軌道彈珠,在軌道上行駛5分鐘后離開軌道,前2分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足二次函數v=at2,后三分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足反比例函數關系,如圖,軌道旁邊的測速儀測得彈珠1分鐘末的速度為2米/分,求:
(1)二次函數和反比例函數的關系式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
(3)求彈珠離開軌道時的速度.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為方便市民通行,某廣場計劃對坡角為30°,坡長為60 米的斜坡AB進行改造,在斜坡中點D 處挖去部分坡體(陰影表示),修建一個平行于水平線CA 的平臺DE 和一條新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE 的坡角為36°,則平臺DE的長約為多少米?
(2)在距離坡角A點27米遠的G處是商場主樓,小明在D點測得主樓頂部H 的仰角為30°,那么主樓GH高約為多少米?
(結果取整數,參考數據:sin 36°=0.6,cos 36°=0.8,tan 36°=0.7,=1.7)
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知小正方形的邊長為2厘米,大正方形的邊長為4厘米,起始狀態(tài)如圖所示,大正方形固定不動,把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直線平移,設平移的時間為t秒,兩個正方形重疊部分的面積為S平方厘米.完成下列問題:
(1)當t=1.5秒時,S=平方厘米;
(2)當S=2時,小正方形平移的時間為秒.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】畫圖并填空:
如圖,在方格紙內將△ABC經過一次平移后得到△A′B′C′,圖中標出了點C的對應點C′.
(1)畫出平移后的△A′B′C′,(利用網格點和三角板畫圖)
(2)畫出AB邊上的高線CD;
(3)畫出BC邊上的中線AE;
(4)在平移過程中高CD掃過的面積為 . (網格中,每一小格單位長度為1).
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知點A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)在二次函數y=-(x-2)2+4的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系是 _________
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com